【その疑問や悩みについてネット検索で調査済みですか？】
はい
【その疑問や悩みはマニュアルには載っていないことですか？】
はい
【阿修羅ワークスのプラグインは全て最新ですか？】
はい
【結果として今どうなっていますか？】
1つのAPIキーで複数サイトに使えない
1番最後に設定したサイトだけ機能している状態です。
【何をしたらそうなったか直前の操作や変更箇所について教えて下さい。】
複数サイトに同じAPIキーを設定した
【以前はどのような状態でしたか？】
以前は1つのサイトだけで使用していたので問題ありませんでした
【どのような状態になればいいと考えていますか？】
ゲッツインを複数サイトで使いたいのですが、APIキーは複数申請して1サイトづつ新たに取得しないとならないのでしょうか？
現在はAPIキーを設定したサイトだけ機能していてその他の設定したサイトは機能しなくなる状態です。
まずは使用できるか確認をしてみて下さい。
API認証チェックから調査できます。
APIキーは無限に使えるわけではなく、制限があります。
複数のサイトで使い回しをした結果、レートリミットを消費し過ぎている場合は、そのAPIキーは一時的に利用停止となります。
リミット問題ありません
マルチサイトにはしてないので個別にワードプレス・プラグインがインストールされて状態です。
1番最後に管理画面からAPIキーを設定した1つのサイトでしか動かない状態です。
通常は1つのAPIキーをつかいまわして複数サイトで使えるものでしょうか？
APIキーは複数のサイトで使い回しは可能です。
ただし、異なるレンタルサーバー会社をまたぐと、IPアドレスが異なるためセキュリティロックがかかる場合があります。
そのAPIキーと紐づいているTwitterアカウントでログインして凍結されていないかも確認して下さい。
問題がない場合は、使えるサイトと使えないサイトとで設定になにか差があることが考えられます。
例えばSSL設定など。
同一サーバーでサブディレクトリや別ドメインでの使用です。
ゲッツインの設定ではなくサーバー自体の設定でしょうか？
現在conohaを使っていてサーバー管理画面からsslの設定をしました。
私の方では残念ながらサイトの差分は推測するしかありません。
また、1サイトの時は問題がなかったのであれば、再度1サイトのみに戻してみて使用できるかのテストもして下さい。サイト構成がすべて一緒であれば、その場合、Twitter API側の制限が疑われます。
他のレンタルサーバーがあれば、例えば私のデモサイト(ロリポップ)で良ければTwitter APIキーを入力して利用できるかのテストができます(テスト後はAPIキーを消去して下さい)。